ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Опишите, как можно построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям.

Пусть даны пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), их пересечение — прямая \(a\), то есть \(\alpha \cap \beta = a\).

Плоскость \(\gamma\), перпендикулярная и к \(\alpha\), и к \(\beta\), должна содержать прямую \(a\) и быть перпендикулярна им.

Тогда \(a \perp \gamma\) и \(\gamma \perp \alpha\), \(\gamma \perp \beta\).

Ответ: плоскость \(\gamma\), проходящая через прямую \(a\) и перпендикулярная плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\).

Пусть даны две пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Их пересечение — прямая \(a\), то есть \( \alpha \cap \beta = a \). Эта прямая является общей для обеих плоскостей и лежит в каждой из них. Чтобы построить плоскость \(\gamma\), перпендикулярную обеим плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), необходимо учесть, что \(\gamma\) должна быть перпендикулярна каждой из них в любой точке их пересечения.

Плоскость \(\gamma\), перпендикулярная и к \(\alpha\), и к \(\beta\), должна содержать прямую \(a\), так как она является линией пересечения этих плоскостей. При этом \(\gamma\) будет перпендикулярна обеим плоскостям, если она перпендикулярна их общей прямой \(a\). Это связано с тем, что направление прямой \(a\) лежит в обеих плоскостях, и если плоскость \(\gamma\) перпендикулярна этой прямой, то она будет перпендикулярна и плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\).

Таким образом, построение плоскости \(\gamma\) сводится к проведению плоскости через прямую \(a\), которая будет перпендикулярна как \(\alpha\), так и \(\beta\). Плоскость \(\gamma\) можно определить как множество всех прямых, проходящих через \(a\) и перпендикулярных этой линии. В итоге получаем, что \(\gamma\) удовлетворяет условиям: \( \gamma \perp \alpha \), \( \gamma \perp \beta \), и \( a \subset \gamma \).