ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания?

Пусть основание пирамиды — четырёхугольник \(ABCD\), а вершина — точка \(S\). Две противоположные боковые грани — \(SAB\) и \(SCD\).

Если эти грани перпендикулярны плоскости основания, то нормали к граням перпендикулярны к плоскости \(ABCD\).

Это возможно, если высоты граней опущены из вершины \(S\) на основания \(AB\) и \(CD\) соответственно и образуют прямые углы с плоскостью основания.

Следовательно, существует положение точки \(S\), при котором две противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания.

Ответ: существует.

Рассмотрим четырёхугольную пирамиду с основанием \(ABCD\) и вершиной \(S\). Пусть две противоположные боковые грани — это треугольники \(SAB\) и \(SCD\). Для того чтобы эти грани были перпендикулярны плоскости основания \(ABCD\), необходимо, чтобы нормали к этим граням были перпендикулярны плоскости основания. Нормаль к плоскости основания перпендикулярна самой плоскости, значит, нормали к боковым граням должны быть коллинеарны нормали основания.

Если обозначить плоскость основания как \(P\), то условие перпендикулярности боковой грани \(SAB\) к \(P\) означает, что угол между плоскостью \(SAB\) и \(P\) равен \(90^\circ\). Аналогично для грани \(SCD\). Это возможно, когда высоты из вершины \(S\) на стороны \(AB\) и \(CD\) опущены под прямым углом к плоскости основания.

Положение точки \(S\) выбирается так, что линии, лежащие в плоскостях боковых граней и перпендикулярные основаниям \(AB\) и \(CD\), совпадают с направлением нормали к плоскости основания. Таким образом, обе боковые грани \(SAB\) и \(SCD\) будут перпендикулярны основанию. Следовательно, существует такая четырёхугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания.