ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(D\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\). На отрезке \(BD\) отметили точку \(M\) так, что \(BM : MD = 3 : 1\). Плоскость, проходящая через прямую \(AM\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), пересекает отрезок \(BC\) в точке \(E\). Найдите отношение \(BE : EC\).

Точка \(D\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\), значит \(D\) — центр описанной окружности.

Точка \(M\) делит отрезок \(BD\) в отношении \(3:1\).

Плоскость, проходящая через \(AM\) и перпендикулярная плоскости \(ABC\), пересекает \(BC\) в точке \(E\).

Проекция \(M_1\) точки \(M\) на плоскость \(ABC\) лежит на \(AE\).

Из подобия треугольников и свойств равностороннего треугольника следует, что отношение \(BE : EC = 1 : 2\).

Точка \(D\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\), следовательно, она является центром описанной окружности этого треугольника. Это значит, что расстояния \(AD = BD = CD\). Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, и в равностороннем треугольнике это совпадает с центром тяжести и ортоцентром.

Точка \(M\) лежит на отрезке \(BD\) так, что отношение \(BM : MD = 3 : 1\). Это указывает на то, что \(M\) делит отрезок \(BD\) в отношении 3 к 1, ближе к вершине \(B\). Если рассмотреть координаты точек или использовать векторный подход, то вектор \(BM\) равен \(\frac{3}{4}\) от всего вектора \(BD\). Таким образом, \(M\) расположена на \(75\%\) пути от \(B\) к \(D\).

Плоскость, проходящая через прямую \(AM\) и перпендикулярная плоскости \(ABC\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\). Это означает, что линия \(AE\) является проекцией точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Рассматривая подобие треугольников, образованных с точками \(B, E, C\) и \(A, M, D\), и учитывая равносторонность треугольника \(ABC\), можно вывести, что отношение отрезков \(BE : EC\) равно \(1 : 2\).