ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(D\) равноудалена от вершин прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)). На отрезке \(DC\) отметили точку \(M\) так, что \(CM : MD = 2 : 1\). Плоскость, проходящая через прямую \(AM\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), пересекает отрезок \(BC\) в точке \(K\). Найдите отношение \(BK : KC\).

Точка \(D\) — центр описанной окружности, значит \(D\) — середина гипотенузы \(AB\).

Точка \(M\) делит отрезок \(DC\) в отношении \(CM : MD = 2 : 1\).

Плоскость через \(AM\), перпендикулярная плоскости \(ABC\), пересекает \(BC\) в точке \(K\).

Проекция \(M\) на плоскость \(ABC\) лежит на отрезке \(DK\), поэтому \(BK : KC = 1 : 1\).

Точка \(D\), равноудалённая от вершин треугольника \(ABC\), является центром описанной окружности. В прямоугольном треугольнике с прямым углом в вершине \(C\) центр описанной окружности находится в середине гипотенузы \(AB\), следовательно, \(D\) — середина отрезка \(AB\). Это ключевой факт, который позволяет связать координаты и длины сторон треугольника с положением точки \(D\).

Точка \(M\) выбрана на отрезке \(DC\) так, что отношение \(CM : MD = 2 : 1\). Это означает, что \(M\) делит отрезок \(DC\) в отношении 2 к 1, ближе к вершине \(C\). Поскольку \(D\) — середина \(AB\), а \(C\) — вершина прямого угла, то отрезок \(DC\) соединяет центр окружности с вершиной \(C\). Положение точки \(M\) на этом отрезке задаёт определённую высоту в пространстве относительно плоскости треугольника.

Плоскость, проходящая через прямую \(AM\) и перпендикулярная плоскости \(ABC\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Рассмотрение проекции точки \(M\) на плоскость \(ABC\) показывает, что эта проекция лежит на отрезке \(DK\). Из этого следует, что точка \(K\) делит отрезок \(BC\) пополам, то есть отношение \(BK : KC = 1 : 1\). Таким образом, точка \(K\) — середина стороны \(BC\).