ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно \(a\).

Диагональ \(BD\) равна \(a\) и является биссектрисой угла \(B\), значит треугольник \(BCD\) равнобедренный с боковыми сторонами \(a\).

Высота трапеции равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Меньшее основание \(BC = a\), большее основание \(AD = 2a\).

Площадь трапеции равна \(S = \frac{(a + 2a)}{2} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Диагональ \(BD\) является биссектрисой угла \(B\), что означает, что она делит угол при вершине \(B\) на два равных угла. Поскольку трапеция равнобокая, боковые стороны \(AB\) и \(CD\) равны и равны \(a\). Из условия, что \(BD\) перпендикулярна стороне \(AB\), следует, что угол между \(BD\) и \(AB\) равен 90 градусам. Это позволяет рассматривать треугольник \(ABD\) как прямоугольный с гипотенузой \(AB = a\) и катетом \(BD\), который является высотой относительно основания \(AB\).

Поскольку \(BD\) — биссектриса угла \(B\), а также высота, то треугольник \(BCD\) оказывается равнобедренным с боковыми сторонами \(BC = BD = a\). Меньшее основание трапеции равно \(BC = a\), а большее основание \(AD\) можно выразить через длину боковых сторон и свойства равнобокой трапеции. В данном случае \(AD = 2a\), так как трапеция симметрична относительно высоты, проведённой из вершины \(B\).

Высота трапеции \(h\) равна длине отрезка \(BD\), который можно найти из прямоугольного треугольника \(ABD\) по теореме Пифагора. Так как \(BD\) перпендикулярна \(AB\), высота равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{(BC + AD)}{2} \times h\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{(a + 2a)}{2} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}\).