ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите площадь ромба, сторона которого равна \(15\) см, а сумма диагоналей — \(42\) см.

Сторона ромба \(AB = 15\), сумма диагоналей \(AC + BD = 42\).

Пусть \(AC = x\), тогда \(BD = 42 — x\). Половины диагоналей: \(\frac{x}{2}\) и \(\frac{42 — x}{2}\).

По теореме Пифагора: \(15^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{42 — x}{2}\right)^2\).

Умножаем на 4: \(900 = x^2 + (42 — x)^2\).

Раскрываем скобки: \(900 = x^2 + 1764 — 84x + x^2\).

Упрощаем: \(2x^2 — 84x + 1764 = 900\).

Приводим к квадратному уравнению: \(x^2 — 42x + 432 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-42)^2 — 4 \cdot 432 = 1764 — 1728 = 36\).

Корни: \(x_1 = \frac{42 — 6}{2} = 18\), \(x_2 = \frac{42 + 6}{2} = 24\).

Берём \(AC = 18\), тогда \(BD = 24\).

Площадь ромба: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\).

Ответ: площадь ромба \(216\) см\(^2\).

Дано, что сторона ромба равна \(AB = 15\) см, а сумма диагоналей равна \(AC + BD = 42\) см. Для нахождения площади ромба нам нужно знать длины диагоналей, так как площадь ромба вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BD\). Обозначим длину одной диагонали через \(x\), тогда вторая диагональ будет равна \(42 — x\), так как их сумма равна 42.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне ромба. В этом треугольнике катеты равны \(\frac{x}{2}\) и \(\frac{42 — x}{2}\), а гипотенуза равна 15. По теореме Пифагора имеем уравнение \(15^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{42 — x}{2}\right)^2\). Раскроем скобки и упростим: \(225 = \frac{x^2}{4} + \frac{(42 — x)^2}{4}\). Умножив обе части на 4, получаем \(900 = x^2 + (42 — x)^2\).

Раскроем квадрат второго слагаемого: \(900 = x^2 + 1764 — 84x + x^2\), что упрощается до \(900 = 2x^2 — 84x + 1764\). Перенесём все в левую часть уравнения: \(2x^2 — 84x + 1764 — 900 = 0\), или \(2x^2 — 84x + 864 = 0\). Разделим на 2 для упрощения: \(x^2 — 42x + 432 = 0\). Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = (-42)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 432 = 1764 — 1728 = 36\). Корни уравнения равны \(x_1 = \frac{42 — 6}{2} = 18\) и \(x_2 = \frac{42 + 6}{2} = 24\).

Выбираем \(AC = 18\) см и \(BD = 24\) см, поскольку обе диагонали положительны и их сумма равна 42. Площадь ромба вычисляем по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\) см². Таким образом, площадь ромба равна 216 квадратных сантиметров.