ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости прямоугольников \(ABCD\) и \(CBFE\) перпендикулярны (рис. 15.11).

1) Верно ли утверждение: а) \(BF \perp AB\); б) \(BE \perp BD\); в) \(BE \perp AB\)?

2) Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(AD\) и расстояние от точки \(D\) до прямой \(BF\), если \(AB = BF = 5\) см, \(BC = 12\) см.

а) Нет, так как \(BF\) и \(AB\) лежат в разных плоскостях.

б) Да, так как \(BE\) перпендикулярна \(BD\) по условию.

в) Нет, так как \(BE\) не перпендикулярна \(AB\).

Расстояние от \(E\) до \(AD\) равно длине \(ED\). По теореме Пифагора: \(ED = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\) см.

Расстояние от \(D\) до \(BF\) равно длине \(DB\). По теореме Пифагора: \(DB = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\) см.

а) Утверждение, что \(BF\) перпендикулярна \(AB\), неверно, поскольку эти отрезки лежат в разных плоскостях. Прямоугольники \(ABCD\) и \(CBFE\) расположены так, что их плоскости перпендикулярны, и \(AB\) принадлежит первому прямоугольнику, а \(BF\) — второму. Следовательно, \(BF\) и \(AB\) не могут быть перпендикулярны, так как они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

б) Утверждение, что \(BE\) перпендикулярна \(BD\), верно. Отрезок \(BE\) принадлежит прямоугольнику \(CBFE\), а \(BD\) — диагональ прямоугольника \(ABCD\). Поскольку плоскости этих прямоугольников перпендикулярны, и \(BE\) лежит в плоскости второго прямоугольника, а \(BD\) — в плоскости первого, то \(BE\) перпендикулярен \(BD\).

в) Утверждение, что \(BE\) перпендикулярна \(AB\), неверно. Отрезок \(AB\) лежит в плоскости первого прямоугольника, а \(BE\) — во втором. Они не пересекаются под прямым углом, так как \(BE\) направлен вдоль стороны второго прямоугольника, а \(AB\) — первого, и их взаимное расположение не соответствует перпендикулярности.

Для нахождения расстояния от точки \(E\) до прямой \(AD\) рассмотрим треугольник \(EDC\). Поскольку \(EC = AB = 5\) см и \(CD = BF = 5\) см, по теореме Пифагора длина \(ED\) равна \(ED = \sqrt{EC^{2} + CD^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}\) см. Это и есть искомое расстояние, так как прямая \(AD\) перпендикулярна плоскости, в которой лежит отрезок \(ED\).

Для нахождения расстояния от точки \(D\) до прямой \(BF\) рассмотрим треугольник \(DBC\). Из условия известно, что \(BC = 12\) см и \(CD = 5\) см. По теореме Пифагора длина \(DB\) равна \(DB = \sqrt{BC^{2} + CD^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) см. Этот отрезок является перпендикуляром из точки \(D\) на прямую \(BF\), следовательно, расстояние равно 13 см.