ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Равнобедренные прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(ADC\) имеют общую гипотенузу \(AC\), равную \(6\) см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 15.12). Найдите расстояние между точками \(B\) и \(D\).

Даны равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузой \(AC = 6\) см. По теореме Пифагора для треугольника \(ABC\) получаем \(2AB^2 = 6^2\), значит \(AB = 3\sqrt{2}\) см.

Плоскости треугольников перпендикулярны, поэтому расстояние \(BD\) вычисляется как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(AB\) и \(AD\), равными \(3\sqrt{2}\).

Тогда \(BD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36\), откуда \(BD = 6\) см.

1. Даны равнобедренные прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(ADC\) с общей гипотенузой \(AC = 6\) см.

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, значит \(AB = BC = AD = DC = x\).

3. По теореме Пифагора для треугольника \(ABC\) имеем \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), то есть \(6^2 = x^2 + x^2\).

4. Следовательно, \(36 = 2x^2\), откуда \(x^2 = \frac{36}{2} = 18\).

5. Значит, \(x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) см.

6. Плоскости треугольников \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны, поэтому отрезок \(BD\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(AB\) и \(AD\).

7. Катеты этого прямоугольного треугольника равны \(3\sqrt{2}\) см.

8. Тогда по теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой \(BD\) получаем \(BD^2 = AB^2 + AD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2\).

9. Вычисляем: \(BD^2 = 18 + 18 = 36\).

10. Следовательно, \(BD = \sqrt{36} = 6\) см.