ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MB\) — перпендикуляр к плоскости квадрата \(ABCD\) (рис. 15.13). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) \(ABM\) и \(ABC\); 2) \(ABM\) и \(CBM\); 3) \(AMB\) и \(AMD\).

Дано: \(MB \perp ABCD\).

1) \(MB \perp BC\) и \(MB \perp AC\), значит \(MB \perp ABC\). Плоскость \(ABM\) содержит \(MB\), значит \(ABM \perp ABC\).

2) \(AB \perp BC\) и \(MB\) общая прямая в плоскостях \(ABM\) и \(CBM\), значит \(ABM \perp CBM\).

3) \(AB \perp AD\) и \(AM\) общая прямая в плоскостях \(AMB\) и \(AMD\), значит \(AMB \perp AMD\).

1) По условию \(MB \perp ABCD\). Поскольку \(BC \subset ABCD\), то \(MB \perp BC\). Аналогично, \(AC \subset ABCD\), значит \(MB \perp AC\). Прямая \(MB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BC\) и \(AC\), лежащим в плоскости \(ABC\), следовательно, \(MB \perp ABC\). Плоскость \(ABM\) содержит прямую \(MB\), поэтому плоскости \(ABM\) и \(ABC\) перпендикулярны.

2) Рассмотрим плоскости \(ABM\) и \(CBM\). Они имеют общую прямую \(MB\). В плоскости \(ABM\) есть прямая \(AB\), в плоскости \(CBM\) — прямая \(BC\). Поскольку \(ABCD\) — квадрат, то \(AB \perp BC\). Следовательно, плоскости \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны.

3) Рассмотрим плоскости \(AMB\) и \(AMD\). Они имеют общую прямую \(AM\). В плоскости \(AMB\) есть прямая \(AB\), в плоскости \(AMD\) — прямая \(AD\). Поскольку \(ABCD\) — квадрат, то \(AB \perp AD\). Следовательно, плоскости \(AMB\) и \(AMD\) перпендикулярны.