ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(AD\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\) (рис. 15.14). Докажите, что плоскости \(BCD\) и \(ACD\) перпендикулярны.

Отрезок \(AD\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), значит \(AD \perp AB\) и \(AD \perp AC\).

Угол \(ACB = 90^\circ\), значит \(AC \perp BC\).

Плоскость \(BCD\) содержит прямую \(BC\), а плоскость \(ACD\) содержит прямые \(AC\) и \(AD\).

Так как \(AD \perp BC\) и \(AD \subset ACD\), то плоскости \(BCD\) и \(ACD\) перпендикулярны.

Отрезок \(AD\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\). Это означает, что \(AD\) перпендикулярен любым прямым, лежащим в плоскости \(ABC\) и проходящим через точку \(A\). В частности, \(AD \perp AB\) и \(AD \perp AC\). Эти перпендикулярности важны, так как они задают направление отрезка \(AD\) относительно плоскости \(ABC\).

В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\), то есть \(AC \perp BC\). Это значит, что прямые \(AC\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются под прямым углом. Следовательно, плоскость \(BCD\) содержит прямую \(BC\) и точку \(D\), а плоскость \(ACD\) содержит прямые \(AC\) и \(AD\). Поскольку \(AD\) перпендикулярен \(AC\) и \(AB\), он также перпендикулярен \(BC\), так как \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\) и образует с \(AC\) прямой угол.

Плоскость \(BCD\) содержит прямую \(BC\), а плоскость \(ACD\) содержит прямые \(AC\) и \(AD\). Поскольку \(AD\) перпендикулярен \(BC\), а \(AD\) лежит в плоскости \(ACD\), это означает, что плоскость \(ACD\) перпендикулярна плоскости \(BCD\). Таким образом, доказано, что при данных условиях плоскости \(BCD\) и \(ACD\) действительно перпендикулярны.