ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Может ли площадь проекции многоугольника быть равной площади самого многоугольника?

Пусть \( S \) — площадь многоугольника, \( S’ \) — площадь его проекции.

Площадь проекции равна площади исходного многоугольника, если угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен \( 90^\circ \).

Тогда \( S’ = S \cdot \cos 90^\circ = S \cdot 0 = 0 \), что невозможно.

Значит, площадь проекции может быть равна площади многоугольника только при угле \( 0^\circ \), но тогда проекция совпадает с самим многоугольником.

Ответ: да, если угол равен \( 0^\circ \), иначе — нет.

Пусть \( S \) — площадь многоугольника, а \( S’ \) — площадь его проекции на некоторую плоскость. Площадь проекции зависит от угла \( \alpha \) между плоскостью многоугольника и плоскостью, на которую производится проекция. При этом площадь проекции вычисляется по формуле \( S’ = S \cdot \cos \alpha \), где \( \cos \alpha \) — косинус угла между плоскостями.

Если угол \( \alpha \) равен \( 0^\circ \), то плоскости совпадают, и проекция многоугольника совпадает с самим многоугольником. В этом случае \( \cos 0^\circ = 1 \), и площадь проекции равна площади многоугольника: \( S’ = S \cdot 1 = S \). Это единственный случай, когда площадь проекции равна площади исходного многоугольника.

Если угол \( \alpha \) отличается от нуля, то \( \cos \alpha < 1 \), и площадь проекции будет строго меньше площади самого многоугольника. При угле \( 90^\circ \) проекция превращается в отрезок или прямую, и её площадь равна нулю, так как \( \cos 90^\circ = 0 \). Следовательно, площадь проекции не может быть равна площади многоугольника, если угол между плоскостями не равен нулю.