ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна 12 см, а стороны треугольника \(A_1B_1C_1\) равны 10 см, 10 см и 12 см. Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).

Площадь равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной 12 вычисляется по формуле \(S_{ABC} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}\).

Полупериметр треугольника \(A_1B_1C_1\) равен \(p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\).

Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) по формуле Герона: \(S = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 48\).

Косинус угла между плоскостями равен отношению площадей проекции к исходной: \(\cos \theta = \frac{48}{36 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).

Угол между плоскостями: \(\theta = \arccos \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).

1. Рассчитаем площадь равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной 12 см. Формула площади равностороннего треугольника: \(S_{ABC} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Подставляем \(a = 12\): \(S_{ABC} = \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}\) см².

2. Найдём полупериметр треугольника \(A_1B_1C_1\) с длинами сторон 10, 10 и 12 см. Формула полупериметра: \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Подставляем значения: \(p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16\).

3. Вычислим площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\). Подставляем: \(S = \sqrt{16 \cdot (16 — 10) \cdot (16 — 10) \cdot (16 — 12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4}=\)
\( = \sqrt{2304} = 48\) см².

4. Определим косинус угла между плоскостями, используя отношение площадей проекции к исходной площади: \(\cos \theta = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{48}{36 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).

5. Найдём угол между плоскостями: \(\theta = \arccos \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).