ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона правильного шестиугольника равна 2 см, а площадь его проекции — 9 см\(^2\). Найдите угол между плоскостью данного шестиугольника и плоскостью его проекции.

Сторона шестиугольника \(a = 2\) см, площадь правильного шестиугольника \(S_6 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6 \sqrt{3}\) см².

Площадь проекции \(S_{\text{пр}} = 9\) см².

Угол между плоскостями определяется из формулы \(\cos \alpha = \frac{S_{\text{пр}}}{S_6} = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Следовательно, \(\alpha = 30^\circ\).

Правильный шестиугольник имеет сторону \(a = 2\) см. Чтобы найти площадь этого шестиугольника, используем формулу для площади правильного многоугольника с \(n\) сторонами: \(S = \frac{n a^2}{4 \tan \frac{\pi}{n}}\). Для шестиугольника \(n = 6\), и подстановка даёт \(S_6 = \frac{6 \cdot 2^2}{4 \tan \frac{\pi}{6}} = \frac{24}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = 6 \sqrt{3}\) см². Эта формула позволяет точно вычислить площадь правильного шестиугольника через длину его стороны.

Площадь проекции шестиугольника на другую плоскость равна \(S_{\text{пр}} = 9\) см². Проекция фигуры на плоскость уменьшает её площадь в зависимости от угла наклона исходной плоскости к плоскости проекции. Если угол между плоскостями равен \(\alpha\), то площадь проекции связана с площадью исходной фигуры формулой \(S_{\text{пр}} = S_6 \cos \alpha\). Это объясняется тем, что проекция — это своего рода «сжатие» фигуры вдоль направления, перпендикулярного плоскости проекции, и сжатие происходит именно по косинусу угла между плоскостями.

Зная \(S_6\) и \(S_{\text{пр}}\), можно найти угол \(\alpha\) из уравнения \(\cos \alpha = \frac{S_{\text{пр}}}{S_6} = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Косинус угла \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствует углу в \(30^\circ\). Таким образом, угол между плоскостью шестиугольника и плоскостью его проекции равен \(30^\circ\), что показывает, насколько наклонена плоскость шестиугольника относительно плоскости проекции.