ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции равен 60°. Найдите площадь данного многоугольника, если сумма площадей этого многоугольника и его проекции равна 30 см\(^2\).

Пусть площадь многоугольника равна \(x\) см², тогда площадь проекции равна \(30 — x\) см².

Из условия проекции: \(30 — x = x \cdot \cos 60^\circ\).

Так как \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), получаем уравнение \(30 — x = \frac{x}{2}\).

Умножаем обе части на 2: \(60 — 2x = x\).

Переносим \(x\) в левую часть: \(60 = 3x\).

Отсюда \(x = \frac{60}{3} = 20\).

Ответ: площадь многоугольника равна \(20\) см².

Пусть площадь многоугольника равна \(x\) см², а площадь его проекции на плоскость равна \(30 — x\) см², так как по условию сумма этих площадей равна 30 см². Проекция многоугольника на плоскость уменьшает площадь в зависимости от угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Этот угол равен 60 градусам.

Площадь проекции связана с площадью многоугольника формулой \(S_{\text{пр}} = S_{\text{мног}} \cdot \cos \alpha\), где \(\alpha\) — угол между плоскостями. Подставляя известные значения, получаем уравнение \(30 — x = x \cdot \cos 60^\circ\). Известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), поэтому уравнение принимает вид \(30 — x = \frac{x}{2}\).

Решая уравнение, умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: \(60 — 2x = x\). Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(60 = 3x\). Делим обе части на 3 и получаем \(x = \frac{60}{3} = 20\). Таким образом, площадь многоугольника равна 20 см².