ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро \(AD\) и образующей угол \(\beta\) с плоскостью \(ABC\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Площадь грани \(ABCD\) равна \(a^2\).

Плоскость проходит через ребро \(AD\) и образует угол \(\beta\) с плоскостью \(ABC\).

Если \(0^\circ \leq \beta \leq 45^\circ\), то площадь сечения равна \(\frac{a^2}{\cos \beta}\).

Если \(45^\circ \leq \beta \leq 90^\circ\), то площадь сечения равна \(\frac{a^2}{\sin \beta}\).

Рассмотрим куб с ребром длины \(a\). Плоскость, проходящая через ребро \(AD\), пересекает куб и образует с плоскостью грани \(ABC\) угол \(\beta\). Поскольку грань \(ABC\) является квадратом со стороной \(a\), её площадь равна \(a^2\).

Плоскость сечения содержит ребро \(AD\), которое является общей линией для плоскости сечения и плоскости грани \(ABC\). Угол между этими плоскостями равен \(\beta\). Чтобы найти площадь сечения, нужно рассмотреть, как меняется высота сечения относительно грани \(ABC\) при наклоне плоскости под углом \(\beta\).

Если угол \(\beta\) менее либо равен \(45^\circ\), то высота сечения увеличивается по отношению к ребру \(a\) на величину \(\frac{1}{\cos \beta}\), так как сечение «поднимается» вдоль ребра \(AA_1\). В этом случае площадь сечения равна площади грани \(a^2\), умноженной на коэффициент увеличения высоты: \(S = \frac{a^2}{\cos \beta}\).

Если же угол \(\beta\) больше \(45^\circ\), то высота сечения определяется по-другому — она растёт в направлении, перпендикулярном ребру \(AD\), и связана с углом \(\beta\) через синус. Тогда площадь сечения равна \(S = \frac{a^2}{\sin \beta}\).

Таким образом, площадь сечения определяется по формуле
\(S = \begin{cases} \frac{a^2}{\cos \beta}, & 0^\circ \leq \beta \leq 45^\circ \\[6pt] \frac{a^2}{\sin \beta}, & 45^\circ \leq \beta \leq 90^\circ \end{cases}\).