ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадратом. Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), точка \(K\) — середина ребра \(AD\). Через прямую \(MK\) проведена плоскость, образующая с плоскостью \(ABC\) угол \(\varphi\) и пересекающая три боковых ребра параллелепипеда. Площадь получившегося сечения параллелепипеда равна \(S\). Найдите отрезок \(AB\).

Основание \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a = AB\). Точки \(M\) и \(K\) — середины ребер \(AB\) и \(AD\), значит \(MK = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Плоскость, проходящая через \(MK\), образует угол \(\varphi\) с плоскостью основания. Площадь сечения равна \(S\) и равна произведению длины \(MK\) на высоту сечения, которая равна \(h \tan \varphi\).

Тогда \(S = MK \cdot h \tan \varphi = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot h \tan \varphi\).

Отсюда \(a = \frac{2S}{h \sqrt{2} \tan \varphi} = \frac{S \sqrt{2}}{h \tan \varphi}\).

Пусть основание параллелепипеда \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a = AB\). Точки \(M\) и \(K\) — середины ребер \(AB\) и \(AD\) соответственно, значит координаты этих точек можно представить как \(M = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\) и \(K = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)\) при условии, что \(A\) находится в начале координат, а оси \(x\) и \(y\) направлены вдоль ребер \(AB\) и \(AD\). Длина отрезка \(MK\) равна расстоянию между этими точками, то есть \(MK = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Плоскость, проходящая через прямую \(MK\), наклонена к плоскости основания под углом \(\varphi\). Это означает, что если высота параллелепипеда равна \(h\), то высота сечения, образованного этой плоскостью, будет равна \(h \tan \varphi\), поскольку угол \(\varphi\) — угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости основания. Площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью равна произведению длины основания сечения \(MK\) на высоту сечения, то есть \(S = MK \cdot h \tan \varphi\).

Подставляя выражение для \(MK\) в формулу площади, получаем \(S = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot h \tan \varphi\). Отсюда выражаем сторону квадрата \(a\): \(a = \frac{2S}{h \sqrt{2} \tan \varphi} = \frac{S \sqrt{2}}{h \tan \varphi}\). Таким образом, длина ребра основания параллелепипеда равна \(\frac{S \sqrt{2}}{h \tan \varphi}\).