Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
В тетраэдре \(DABC\) двугранные углы с рёбрами \(AB\), \(BC\) и \(AC\) соответственно равны \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) и \(\alpha_3\), а площади треугольников \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\) и \(ABC\) соответственно равны \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) и \(S\). Докажите, что \(S_1 \cos \alpha_1 + S_2 \cos \alpha_2 + S_3 \cos \alpha_3 = S\).
Пусть \(S\) — площадь треугольника \(ABC\), а \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) — площади треугольников \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\) соответственно. Двугранные углы при рёбрах \(AB\), \(BC\), \(AC\) равны \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\).
Площадь основания \(S\) равна сумме проекций площадей боковых граней на плоскость основания, то есть
\(S = S_1 \cos \alpha_1 + S_2 \cos \alpha_2 + S_3 \cos \alpha_3\).
Это следует из свойства двугранных углов и проекций площадей.
Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) с основанием \(ABC\) и вершиной \(D\). Пусть площади треугольников \(ABD\), \(BCD\), \(CAD\) равны \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) соответственно, а площадь основания \(ABC\) равна \(S\). Двугранные углы при рёбрах \(AB\), \(BC\), \(AC\) обозначим как \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\).
Каждая боковая грань \(DAB\), \(DBC\), \(DCA\) образует с плоскостью основания двугранный угол. Косинус этого угла равен косинусу угла между нормалями к соответствующим плоскостям. Если рассмотреть проекцию площади боковой грани на плоскость основания, то она равна произведению площади боковой грани на косинус двугранного угла при общем ребре. Таким образом, проекция площади \(S_1\) на основание равна \(S_1 \cos \alpha_1\), аналогично для \(S_2\) и \(S_3\).
Площадь основания \(S\) можно представить как сумму этих проекций, так как проекции боковых граней покрывают основание без наложений и пропусков. Следовательно, выполняется равенство \(S = S_1 \cos \alpha_1 + S_2 \cos \alpha_2 + S_3 \cos \alpha_3\). Это выражение показывает, что площадь основания равна сумме произведений площадей боковых граней на косинусы соответствующих двугранных углов при рёбрах основания.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!