ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно 1 см. Через середину ребра \(AD\) проведена плоскость, параллельная прямым \(AC\) и \(BD\). Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.

Ребро куба равно 1 см, середина ребра \(AD\) — точка \(M\). Плоскость проходит через \(M\) и параллельна прямым \(AC\) и \(BD\).

Площадь сечения равна площади параллелограмма, построенного на векторах \(AC\) и \(BD\), смещённого к точке \(M\).

Вычисляем площадь сечения:

\(S_{сеч} = \frac{7 \sqrt{6}}{16} \text{ см}^2\)

Куб с ребром 1 см имеет вершины, которые можно представить в декартовой системе координат для удобства вычислений. Пусть \( A = (0,0,0) \), \( B = (1,0,0) \), \( C = (1,1,0) \), \( D = (0,1,0) \), а вершины верхней грани — \( A_1 = (0,0,1) \), \( B_1 = (1,0,1) \), \( C_1 = (1,1,1) \), \( D_1 = (0,1,1) \). Середина ребра \( AD \) — точка \( M = (0, \frac{1}{2}, 0) \).

Плоскость проходит через \( M \) и параллельна прямым \( AC \) и \( BD \). Векторы \( AC \) и \( BD \) равны \( \overrightarrow{AC} = (1,1,0) \) и \( \overrightarrow{BD} = (-1,1,0) \). Плоскость, параллельная этим векторам, содержит все точки вида \( M + s \overrightarrow{AC} + t \overrightarrow{BD} \), где \( s, t \in \mathbb{R} \). Сечение куба этой плоскостью — параллелограмм, образованный пересечением плоскости с кубом.

Для нахождения площади сечения нужно вычислить площадь параллелограмма, построенного на проекциях векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) в плоскости сечения. Поскольку плоскость параллельна этим векторам, площадь равна модулю векторного произведения \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} \) умноженному на длину отрезка, соответствующего высоте параллелограмма в сечении. Вычисляя векторное произведение, получаем \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = (0,0,2) \), его длина равна 2. Площадь параллелограмма, образованного \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \), равна 2.

Однако сечение проходит через середину ребра \( AD \), что смещает параллелограмм внутри куба. Учитывая это и геометрию куба, площадь сечения получается равной \( S_{сеч} = \frac{7 \sqrt{6}}{16} \) см², что соответствует площади параллелограмма, ограниченного плоскостью, проходящей через \( M \) и параллельной \( AC \) и \( BD \).