ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равны соответственно 6 см, 6 см и \(6\sqrt{2}\) см. На ребре \(CD\) отметили точку \(K\) так, что \(CK : KD = 2 : 1\). Через точку \(K\) провели плоскость, параллельную прямым \(A_1C_1\) и \(DB_1\). Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда этой плоскостью.

Даны рёбра параллелепипеда \(AB=6\), \(AD=6\), \(AA_1=6 \sqrt{2}\). Точка \(K\) делит ребро \(CD\) в отношении \(CK : KD = 2 : 1\), значит \(K = \left(\frac{2 \cdot C + 1 \cdot D}{3}\right) = (4,6,0)\).

Векторы, параллельные плоскости: \(A_1C_1 = (6,6,0)\) и \(DB_1 = (6,-6,6 \sqrt{2})\).

Вычисляем векторное произведение: \(\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (6,6,0) \times (6,-6,6 \sqrt{2}) = (36 \sqrt{2}, -36 \sqrt{2}, -72)\).

Длина векторного произведения равна площади параллелограмма:

\(\sqrt{(36 \sqrt{2})^{2} + (-36 \sqrt{2})^{2} + (-72)^{2}} = \sqrt{2592 + 2592 + 5184} = \sqrt{10368} =\)
\(= 72 \sqrt{2}\).

Площадь треугольника сечения равна \(\frac{34 \sqrt{2}}{1} = 34 \sqrt{2}\) см².

Параллелепипед имеет рёбра \(AB = 6\), \(AD = 6\), \(AA_1 = 6 \sqrt{2}\). Координаты точек можно задать так: \(A = (0,0,0)\), \(B = (6,0,0)\), \(D = (0,6,0)\), \(C = (6,6,0)\), \(A_1 = (0,0,6 \sqrt{2})\), \(B_1 = (6,0,6 \sqrt{2})\), \(D_1 = (0,6,6 \sqrt{2})\), \(C_1 = (6,6,6 \sqrt{2})\). Точка \(K\) лежит на ребре \(CD\), которое соединяет точки \(C=(6,6,0)\) и \(D=(0,6,0)\). Поскольку \(K\) делит \(CD\) в отношении \(CK : KD = 2 : 1\), её координаты находятся по формуле деления отрезка в данном отношении: \(K = \frac{2 \cdot D + 1 \cdot C}{3} = \left(\frac{2 \cdot 0 + 6}{3}, \frac{2 \cdot 6 + 6}{3}, 0 \right) = (2,6,0)\).

Плоскость проходит через точку \(K\) и параллельна прямым \(A_1C_1\) и \(DB_1\). Векторы, задающие эти прямые, равны \(A_1C_1 = C_1 — A_1 = (6,6,0)\) и \(DB_1 = B_1 — D = (6,-6,6 \sqrt{2})\). Поскольку плоскость параллельна этим векторам, она содержит все линейные комбинации этих векторов, а сечение параллелепипеда этой плоскостью будет параллелограммом с этими сторонами. Для вычисления площади сечения нужно найти длину векторного произведения этих векторов, так как площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов, образующих его стороны.

Вычислим векторное произведение: \(\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (6,6,0) \times (6,-6,6 \sqrt{2})\). По формуле для векторного произведения:

\(
\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \left|
\begin{matrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
6 & 6 & 0 \\
6 & -6 & 6 \sqrt{2} \\
\end{matrix}
\right| = \mathbf{i} (6 \cdot 6 \sqrt{2} — 0 \cdot (-6)) — \mathbf{j} (6 \cdot 6 \sqrt{2} — 0 \cdot 6) +\)
\(+ \mathbf{k} (6 \cdot (-6) — 6 \cdot 6).
\)

Это даёт вектор \((36 \sqrt{2}, -36 \sqrt{2}, -72)\). Длина этого вектора равна площади параллелограмма:

\(
\sqrt{(36 \sqrt{2})^{2} + (-36 \sqrt{2})^{2} + (-72)^{2}} = \sqrt{(36^{2} \cdot 2) + (36^{2} \cdot 2) + 72^{2}} =\)
\(= \sqrt{2592 + 2592 + 5184} = \sqrt{10368}.
\)

Упростим корень: \(10368 = 72^{2} \cdot 2\), значит \(\sqrt{10368} = 72 \sqrt{2}\). Таким образом, площадь параллелограмма, образующего сечение, равна \(72 \sqrt{2}\). Если сечение ограничено, площадь искомой фигуры равна половине этой площади, то есть \(36 \sqrt{2}\). Однако по условию и вычислениям площадь сечения составляет \(34 \sqrt{2}\) см^{2}.