ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Может ли площадь проекции многоугольника быть больше, чем площадь самого многоугольника?

Пусть \( S \) — площадь многоугольника, \( S_p \) — площадь его проекции. Проекция — это отображение точек многоугольника на плоскость или прямую с помощью ортогонального проецирования.

При ортогональном проецировании длины и площади могут только уменьшаться или оставаться равными, так как проекция «сжимает» фигуру в одном из направлений.

Следовательно, площадь проекции \( S_p \) не может быть больше площади исходного многоугольника \( S \), то есть выполняется неравенство

\( S_p \leq S \).

Если площадь многоугольника принять за 1, то

\( S_p \leq 1 \).

Ответ: площадь проекции не может быть больше площади самого многоугольника.

Площадь многоугольника \( S \) — это мера, которая показывает, сколько двумерного пространства занимает фигура. Когда мы говорим о проекции многоугольника, мы имеем в виду отображение всех точек многоугольника на какую-либо плоскость или прямую с помощью ортогонального проецирования. Это означает, что каждая точка многоугольника «опускается» перпендикулярно на выбранную плоскость, образуя новую фигуру — проекцию. Важно понимать, что при таком проецировании длины и площади не могут увеличиваться, так как проекция всегда «сжимает» фигуру в одном или нескольких направлениях.

Если рассмотреть площадь проекции многоугольника \( S_p \), то она определяется как площадь фигуры, полученной после проецирования. При этом из-за сжатия по одной из осей площадь проекции не может превысить площадь исходного многоугольника. Математически это выражается неравенством \( S_p \leq S \). Проекция может уменьшить площадь, если многоугольник наклонён относительно плоскости проекции, но не способна увеличить её. Если многоугольник расположен параллельно плоскости проекции, то площадь проекции будет равна площади многоугольника, то есть \( S_p = S \).

Таким образом, если площадь исходного многоугольника принять за единицу, то площадь его проекции всегда будет меньше или равна 1, то есть \( S_p \leq 1 \). Это фундаментальное свойство проекций связано с тем, что проекция — это линейное отображение, которое не увеличивает меру площади. Следовательно, площадь проекции многоугольника не может быть больше площади самого многоугольника.