ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BC\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(MKD\) и \(ABB_1\).

Точки M и K — середины рёбер BC и CC_1 соответственно. Найдём площадь проекции треугольника MKD на плоскость ABB_1. Отношение площади проекции к площади треугольника MKD равно \( \frac{2}{3} \).

Угол между плоскостями равен углу между нормалями, а косинус этого угла равен отношению площади проекции к площади:

\( \cos \angle (MKD, ABB_1) = \frac{2}{3} \)

Следовательно,

\( \angle (MKD, ABB_1) = \arccos \frac{2}{3} \)

Точки M и K являются серединами рёбер BC и CC₁ соответственно, поэтому координаты этих точек можно записать как средние значения координат концов отрезков. Это позволяет точно определить положение точек внутри куба и вычислить векторы, необходимые для анализа плоскостей. В частности, вектор MK получается как разность координат точек K и M, а вектор MD — как разность координат точек D и M.

Плоскость MKD определяется векторами MK и MD, а плоскость ABB₁ — векторами AB и AB₁. Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно найти угол между их нормалями. Нормаль к плоскости находится как векторное произведение двух направляющих векторов этой плоскости. Таким образом, нормаль к плоскости MKD равна векторному произведению векторов MK и MD, а нормаль к плоскости ABB₁ — векторному произведению векторов AB и AB₁.

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями, и косинус этого угла равен абсолютному значению скалярного произведения нормалей, делённому на произведение их длин: \( \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} \). В данной задаче отношение площади проекции треугольника MKD на плоскость ABB₁ к площади самого треугольника равно \( \frac{2}{3} \), что и является значением косинуса искомого угла. Следовательно, угол между плоскостями равен \( \arccos \frac{2}{3} \).