ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(E\) — середина ребра \(BC\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(DC_1E\) и \(BB_1D_1\).

Точка \(E\) — середина ребра \(BC\). Найдем проекцию отрезка \(DC_1\) на плоскость \(BB_1D_1\), она равна отрезку \(BE\).

Угол между плоскостями равен углу между \(DC_1\) и его проекцией \(BE\).

Вычисляем косинус угла:

\(\cos \theta = \frac{SB_{пр}}{S_{DC_1E}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Тогда угол

\(\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = 30^\circ\).

Точка \(E\) является серединой ребра \(BC\), значит \(E\) делит отрезок \(BC\) пополам. Рассмотрим плоскость \(DC_1E\), которая проходит через точки \(D\), \(C_1\) и \(E\). Плоскость \(BB_1D_1\) — это грань куба, содержащая точки \(B\), \(B_1\) и \(D_1\). Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно определить угол между вектором, лежащим в плоскости \(DC_1E\), и его проекцией на плоскость \(BB_1D_1\).

Проекция отрезка \(DC_1\) на плоскость \(BB_1D_1\) совпадает с отрезком \(BE\). Это связано с тем, что \(B\) и \(E\) лежат в плоскости \(BB_1D_1\), а точка \(E\) — середина ребра \(BC\). Таким образом, угол между плоскостями равен углу между векторами \(DC_1\) и \(BE\). Для вычисления этого угла воспользуемся отношением площадей треугольников, образованных данными векторами.

Из условия и построения следует, что отношение проекции площади треугольника \(DC_1E\) на плоскость \(BB_1D_1\) к площади самого треугольника равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Это значение и есть косинус искомого угла. Следовательно, угол между плоскостями равен \(\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\), что дает \(\theta = 30^\circ\).