ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) углы \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) прямые. Площади граней \(ADB\), \(BDC\), \(CDA\) и \(ABC\) соответственно равны \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) и \(S\). Докажите, что \(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2\).

В тетраэдре \(DABC\) углы \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) прямые, значит грани \(ADB\), \(BDC\), \(CDA\) взаимно перпендикулярны.

Пусть \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) — площади этих трёх граней, а \(S\) — площадь грани \(ABC\).

Площадь проекции \(S_{np}\) равна \(S \cdot \cos \varphi\), где \(\varphi = 90^\circ\), следовательно \(\cos 90^\circ = 0\).

Из этого следует, что площади связаны формулой

\(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2\).

В тетраэдре \(DABC\) даны три грани \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\), которые образуют между собой прямые углы. Это означает, что плоскости этих граней взаимно перпендикулярны. Пусть \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) — площади граней \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) соответственно, а \(S\) — площадь грани \(ABC\). Для доказательства равенства \(S_1^{2} + S_2^{2} + S_3^{2} = S^{2}\) рассмотрим геометрические свойства этих граней.

Поскольку грани \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) взаимно перпендикулярны, площади этих граней можно представить как модули векторов, направленных перпендикулярно соответствующим плоскостям. Тогда площадь грани \(ABC\) будет равна модулю суммы этих векторов. По теореме Пифагора для векторов, перпендикулярных друг другу, квадрат модуля суммы равен сумме квадратов модулей. Таким образом, площадь \(S\) удовлетворяет уравнению \(S^{2} = S_1^{2} + S_2^{2} + S_3^{2}\).

Это можно также объяснить через проекции. Если рассмотреть площадь грани \(ABC\) как проекцию суммы площадей трёх других граней на плоскость \(ABC\), то из-за прямых углов между гранями проекции площадей граней \(ADB\), \(BDC\), \(CDA\) на плоскость \(ABC\) не накладываются и складываются по правилу прямоугольного треугольника. Следовательно, сумма квадратов площадей трёх граней равна квадрату площади грани \(ABC\), то есть \(S_1^{2} + S_2^{2} + S_3^{2} = S^{2}\).