ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна 1. Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\). Известно, что \(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(A_1C_1 < 1\). Докажите, что угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) больше 60°.

Дано: равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB=1\), и его проекция \(A_1B_1C_1\) с \(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(A_1C_1 < 1\).

Обозначим угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) как \(\varphi\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}\), площадь проекции \(S_1 = S \cos \varphi\).

Максимальная площадь \(S_1\) ограничена по сторонам: \(S_1 \leq \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 < \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Тогда \(\cos \varphi = \frac{S_1}{S} < \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{2}\).

Отсюда \(\varphi > 60^\circ\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 1\). Его площадь равна \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\). Теперь посмотрим на проекцию этого треугольника на другую плоскость, образующую с плоскостью \(ABC\) некоторый угол \(\varphi\). Проекция треугольника \(A_1B_1C_1\) имеет стороны \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\), причем по условию \(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(A_1C_1 < 1\).

Площадь проекции \(S_1\) связана с площадью исходного треугольника через угол \(\varphi\) между плоскостями: \(S_1 = S \cos \varphi\). При этом площадь проекции не может превышать площадь треугольника, умноженную на косинус угла между плоскостями. Максимальная площадь проекции при данных длинах сторон ограничена по формуле площади треугольника: \(S_1 \leq \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1\). Подставляя значения из условия, получаем \(S_1 < \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Теперь выразим косинус угла \(\varphi\) через площади: \(\cos \varphi = \frac{S_1}{S} < \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{2}\). Из этого неравенства следует, что угол между плоскостями \(\varphi\) строго больше 60 градусов, так как \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

Таким образом, учитывая ограничения на длины сторон проекции и связь площадей через угол между плоскостями, мы доказали, что угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) больше 60 градусов.