ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Грани \(ABC\) и \(ADC\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярны. Известно, что \(AB = BC = CD\) и \(AC = BD\). Найдите угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\).

Угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен углу между их линиями пересечения с плоскостью \(BCD\), то есть \(\angle (ABD, ACD) = \angle BKC\).

Треугольник \(AMO\) — проекция треугольника \(ABD\) на плоскость \(BCD\).

По условию \(AB = BC = CD\) и \(AC = BD\), что позволяет определить, что \(\angle BKC = 60^\circ\).

Ответ: \(\angle (ABD, ACD) = 60^\circ\).

Плоскости \(ABD\) и \(ACD\) пересекаются по прямой \(AD\). Для нахождения угла между этими плоскостями достаточно найти угол между их нормалями или же угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии пересечения. В данном случае удобно рассмотреть угол между отрезками \(BK\) и \(CK\), где \(K\) — точка пересечения диагоналей \(BD\) и \(AC\).

Из условия \(AB = BC = CD\) и \(AC = BD\) следует, что треугольники \(ABC\) и \(ADC\) обладают равными сторонами, а грани \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны. Это позволяет утверждать, что треугольник \(BKC\), образованный точками \(B\), \(K\) и \(C\), является равносторонним, так как стороны \(BK\) и \(CK\) равны и угол между ними равен 60°. Следовательно, угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен углу \(\angle BKC = 60^\circ\).

Таким образом, угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен 60°. Это соответствует углу между линиями пересечения плоскостей с общей плоскостью \(BCD\), что подтверждается равенством сторон и перпендикулярностью граней, заданными в условии. Итоговый ответ: \(\angle (ABD, ACD) = 60^\circ\).