ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Грани \(ABC\) и \(ADC\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярны. Известно, что \(AC = BC\), \(AD = CD = \frac{1}{2} AB\) и \(\angle ACB = 90^\circ\). Найдите угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\).

Грани \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны, значит угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен углу между прямыми \(BD\) и \(CD\), то есть \(\angle (ABD, ACD) = \angle BKC\).

По условию \(AC = BC = 1\), \(AB = \sqrt{2}\), \(AD = CD = \frac{1}{2} AB = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Угол \(\angle BKC\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(\angle (ABD, ACD) = \arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\).

В тетраэдре \(DABC\) даны условия, что грани \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны, а также \(AC = BC\), \(AD = CD = \frac{1}{2} AB\), и угол \(ACB\) равен \(90^\circ\). Эти данные позволяют определить взаимное расположение точек и отрезков в пространстве. Поскольку \(AC = BC\) и угол \(ACB = 90^\circ\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами \(AC\) и \(BC\), равными друг другу. Пусть \(AC = BC = 1\), тогда гипотенуза \(AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Далее, по условию \(AD = CD = \frac{1}{2} AB = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Грань \(ADC\) перпендикулярна грани \(ABC\), что означает, что плоскости \(ABC\) и \(ADC\) образуют прямой угол. Для нахождения угла между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) необходимо найти угол между их линиями пересечения с плоскостью \(ABC\). Линии пересечения — это отрезки \(BD\) и \(CD\), и угол между плоскостями равен углу между этими отрезками, то есть \(\angle BKC\), где \(K\) — точка пересечения прямых \(BD\) и \(CD\).

Используя свойства треугольников и заданные длины, вычисляем косинус угла \(\angle BKC\). Он равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Следовательно, искомый угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен \(\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\).