ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Какое наибольшее значение может принимать наименьший двугранный угол тетраэдра?

Пусть сумма двугранных углов равна \( S \). Обозначим три двугранных угла как \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \).

Тогда справедливо равенство \( S \cos \alpha_1 + S \cos \alpha_2 + S \cos \alpha_3 = S \).

По неравенству среднего арифметического и среднего косинуса сумма косинусов не меньше \( \frac{S}{3} \).

Отсюда наибольшее значение наименьшего угла равно \( \arccos \frac{1}{3} \).

Рассмотрим тетраэдр и обозначим его двугранные углы через \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6 \). Сумма всех этих углов равна \( S \). Для упрощения задачи возьмём три двугранных угла \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \), сумма которых также связана с \( S \). Пусть сумма этих трёх углов равна \( S \), тогда можно записать равенство \( S \cos \alpha_1 + S \cos \alpha_2 + S \cos \alpha_3 = S \).

Чтобы найти наибольшее значение наименьшего угла, применим неравенство между средним арифметическим и средним косинусом. Поскольку сумма углов фиксирована и равна \( S \), то сумма косинусов этих углов не может быть меньше, чем трижды косинус минимального угла. Формально это выражается как \( \cos \alpha_1 + \cos \alpha_2 + \cos \alpha_3 \geq 3 \cos \min(\alpha_i) \). Подставляя это в исходное равенство, получаем неравенство \( 3 S \cos \min(\alpha_i) \geq S \), откуда следует \( \cos \min(\alpha_i) \geq \frac{1}{3} \).

Из этого неравенства находим, что минимальный двугранный угол не может быть меньше \( \arccos \frac{1}{3} \). Значит, наибольшее значение наименьшего двугранного угла тетраэдра равно \( \arccos \frac{1}{3} \). Таким образом, мы получили точное значение искомого угла, используя свойства суммы углов и неравенства для косинусов.