ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В окружность вписан квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Радиус вписанной окружности квадрата со стороной \(6\sqrt{2}\) равен \(r = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 3\).

Радиус вписанной окружности правильного треугольника \(r = \frac{s \sqrt{3}}{6}\), где \(s\) — сторона треугольника.

Приравниваем: \(3 = \frac{s \sqrt{3}}{6}\).

Отсюда \(s = \frac{3 \cdot 6}{\sqrt{3}} = 6 \sqrt{3}\).

Ответ: \(6 \sqrt{3}\).

Вписанный в окружность квадрат со стороной \(6 \sqrt{2}\) имеет радиус описанной окружности, равный половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата вычисляется по формуле \(a \sqrt{2}\), где \(a\) — сторона квадрата. Подставляя \(a = 6 \sqrt{2}\), получаем диагональ равную \(6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12\). Следовательно, радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали, то есть \(r = \frac{12}{2} = 6\).

Теперь рассмотрим правильный треугольник, описанный около той же окружности. Радиус вписанной окружности правильного треугольника выражается через сторону \(s\) формулой \(r = \frac{s \sqrt{3}}{6}\). Поскольку окружность одна и та же, радиус вписанной окружности треугольника равен радиусу описанной окружности квадрата, то есть \(r = 6\).

Подставляя радиус в формулу для треугольника, получаем равенство \(6 = \frac{s \sqrt{3}}{6}\). Умножая обе части на 6, имеем \(36 = s \sqrt{3}\). Чтобы найти сторону \(s\), делим обе части на \(\sqrt{3}\), получая \(s = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12 \sqrt{3}\).

Ответ: сторона правильного треугольника, описанного около данной окружности, равна \(12 \sqrt{3}\).