ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = 4\) см, \(\angle BAC = 30^\circ\) и радиус описанной окружности равен 3 см. Докажите, что высота, проведённая к стороне \(AB\), меньше 3 см.

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = 4\), \(\angle BAC = 30^\circ\), радиус описанной окружности \(R = 3\).

По теореме синусов \(AB = 2R \sin C\), значит \(\sin C = \frac{AB}{2R} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Угол \(B = 180^\circ — 30^\circ — \arcsin \frac{2}{3}\).

Длина стороны \(BC = 2R \sin B = 6 \sin B\).

Высота \(h\), проведённая к стороне \(AB\), равна \(h = BC \sin 30^\circ = 6 \sin B \cdot \frac{1}{2} = 3 \sin B\).

Так как \(\sin B < 1\), то \(h < 3\).

Следовательно, высота, проведённая к стороне \(AB\), меньше 3.

В треугольнике \(ABC\) дана сторона \(AB = 4\) см, угол при вершине \(A\) равен \(30^\circ\), а радиус описанной окружности \(R = 3\) см. По теореме синусов для треугольника справедливо равенство \(AB = 2R \sin C\), где \(C\) — угол напротив стороны \(AB\). Подставляя известные значения, получаем \(4 = 2 \cdot 3 \cdot \sin C\), откуда \(\sin C = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Таким образом, угол \(C\) равен \(\arcsin \frac{2}{3}\).

Зная, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), вычисляем угол \(B\) как \(B = 180^\circ — 30^\circ — \arcsin \frac{2}{3}\). Далее по теореме синусов длина стороны \(BC\), противоположной углу \(B\), равна \(BC = 2R \sin B = 6 \sin B\). Это позволяет выразить сторону \(BC\) через известный радиус и угол \(B\).

Высота \(h\), проведённая к стороне \(AB\), равна произведению стороны \(BC\) на синус угла \(A\), то есть \(h = BC \sin 30^\circ\). Подставляя выражение для \(BC\), получаем \(h = 6 \sin B \cdot \frac{1}{2} = 3 \sin B\). Поскольку значение \(\sin B\) всегда меньше или равно 1, высота \(h\) строго меньше 3 см, что и требовалось доказать.