ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите площадь многоугольника, если площадь его проекции на некоторую плоскость равна 24 см\(^2\), а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен 30°.

Площадь проекции связана с площадью многоугольника через угол: \( S_{\text{проекции}} = S \cdot \cos \alpha \).

Отсюда \( S = \frac{S_{\text{проекции}}}{\cos \alpha} = \frac{24}{\cos 30^\circ} \).

Так как \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( S = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} \).

Умножая числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \), получаем \( S = \frac{48 \sqrt{3}}{3} = 16 \sqrt{3} \).

Ответ: \( 16 \sqrt{3} \) см².

1. Дано: площадь проекции многоугольника на плоскость \( S_{\text{проекции}} = 24 \) см², угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции \( \alpha = 30^\circ \).

2. Связь между площадью многоугольника \( S \) и площадью его проекции выражается формулой \( S_{\text{проекции}} = S \cdot \cos \alpha \).

3. Необходимо найти площадь многоугольника \( S \). Для этого выразим \( S \) из формулы: \( S = \frac{S_{\text{проекции}}}{\cos \alpha} \).

4. Подставим известные значения: \( S = \frac{24}{\cos 30^\circ} \).

5. Известно, что \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

6. Следовательно, \( S = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \).

7. Выполним умножение: \( S = \frac{48}{\sqrt{3}} \).

8. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \( S = \frac{48 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48 \sqrt{3}}{3} \).

9. Упростим дробь: \( S = 16 \sqrt{3} \).

10. Ответ: площадь многоугольника равна \( 16 \sqrt{3} \) см².