ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь многоугольника равна 20 см\(^2\), а площадь его проекции – 16 см\(^2\). Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Площадь проекции равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями, то есть \( S’ = S \cdot \cos \alpha \).

Подставляем данные: \( 16 = 20 \cdot \cos \alpha \).

Находим косинус угла: \( \cos \alpha = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \).

Следовательно, угол \( \alpha = \arccos \frac{4}{5} \).

Площадь проекции многоугольника на другую плоскость зависит от угла между этими плоскостями. Если обозначить угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции как \( \alpha \), то площадь проекции \( S’ \) связана с площадью многоугольника \( S \) через косинус этого угла. Формула выглядит так: \( S’ = S \cdot \cos \alpha \). Это объясняется тем, что проекция — это «сжатие» фигуры вдоль направления, перпендикулярного плоскости проекции, и степень этого сжатия определяется углом между плоскостями.

В нашей задаче известно, что площадь многоугольника равна \( 20 \, \text{см}^2 \), а площадь его проекции — \( 16 \, \text{см}^2 \). Подставим эти значения в формулу: \( 16 = 20 \cdot \cos \alpha \). Чтобы найти \( \cos \alpha \), нужно обе части уравнения разделить на 20, получаем \( \cos \alpha = \frac{16}{20} \). Упростим дробь: \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \).

Теперь, зная значение косинуса угла, можем найти сам угол \( \alpha \) с помощью обратной функции косинуса: \( \alpha = \arccos \frac{4}{5} \). Этот угол и будет искомым — он показывает, под каким наклоном находится плоскость многоугольника относительно плоскости проекции. Таким образом, мы связали площади и угол между плоскостями через простую тригонометрическую формулу.