ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Многоугольник \(F_1\) — проекция многоугольника \(F\) на некоторую плоскость. Заполните таблицу.

Площадь проекции многоугольника \(F_1\) связана с площадью исходного многоугольника \(F\) и углом \(\alpha\) между плоскостями формулой \(F_1 = F \cdot \cos \alpha\).

Если \(F = 12\) см², \(\alpha = 60^\circ\), то \(F_1 = 12 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см².

Если \(F_1 = 8\) см², \(\alpha = 45^\circ\), то \(F = \frac{8}{\cos 45^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \sqrt{2}\) см².

Если \(F = 32\) см², \(F_1 = 16 \sqrt{3}\) см², то \(\cos \alpha = \frac{16 \sqrt{3}}{32} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\alpha = 30^\circ\).

Площадь проекции многоугольника на другую плоскость зависит от угла между этими плоскостями. Если многоугольник имеет площадь \(F\), а угол между плоскостью этого многоугольника и плоскостью проекции равен \(\alpha\), то площадь проекции \(F_1\) вычисляется по формуле \(F_1 = F \cdot \cos \alpha\). Это связано с тем, что при проецировании площадь уменьшается пропорционально косинусу угла наклона между плоскостями. Косинус угла отражает, насколько «наклонена» плоскость многоугольника относительно плоскости проекции.

В первом случае, когда площадь исходного многоугольника равна 12 см², а угол между плоскостями составляет 60°, подставляем значения в формулу: \(F_1 = 12 \cdot \cos 60^\circ\). Так как \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), получаем \(F_1 = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см². Это означает, что площадь проекции уменьшается ровно в два раза относительно исходной площади из-за угла наклона.

Во втором случае известна площадь проекции \(F_1 = 8\) см² и угол \(\alpha = 45^\circ\). Чтобы найти исходную площадь \(F\), формулу нужно преобразовать: \(F = \frac{F_1}{\cos \alpha}\). Подставляем значения: \(F = \frac{8}{\cos 45^\circ}\). Поскольку \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(F = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}\) см². Таким образом, исходная площадь больше площади проекции, так как плоскость многоугольника наклонена под углом 45° к плоскости проекции.

В третьем случае даны площади \(F = 32\) см² и \(F_1 = 16 \sqrt{3}\) см², нужно найти угол \(\alpha\). Из формулы \(F_1 = F \cdot \cos \alpha\) выразим косинус угла: \(\cos \alpha = \frac{F_1}{F} = \frac{16 \sqrt{3}}{32} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значение \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствует углу \(\alpha = 30^\circ\). Это показывает, что при наклоне плоскости многоугольника под углом 30° площадь проекции уменьшается на коэффициент \(\cos 30^\circ\).