ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), изображённого на рисунке 16.6, равно 2 см. Используя теорему о площади ортогональной проекции, вычислите площадь сечения \(AB_1C_1D\).

Ребро куба равно 2 см, координаты точек: \(A(0,0,0)\), \(B_1(2,0,2)\), \(C_1(2,2,2)\), \(D(0,2,0)\).

Вычисляем длины векторов: \(\vec{AB_1} = (2,0,2)\), \(\vec{AC_1} = (2,2,2)\), \(\vec{AD} = (0,2,0)\).

Площадь треугольника \(AB_1C_1\) равна \(\frac{1}{2} \|\vec{AB_1} \times \vec{AC_1}\|\), где \(\vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = (-4,0,4)\), модуль равен \(4\sqrt{2}\), значит площадь \(2\sqrt{2}\).

Площадь треугольника \(AC_1D\) равна \(\frac{1}{2} \|\vec{AC_1} \times \vec{AD}\|\), где \(\vec{AC_1} \times \vec{AD} = (-4,0,4)\), модуль тоже \(4\sqrt{2}\), площадь \(2\sqrt{2}\).

Суммируем площади: \(S = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

Ответ: \(4\sqrt{2}\) см².

Рассмотрим куб с ребром длиной 2 см. Для удобства введём систему координат, где точка \(A\) находится в начале координат: \(A(0,0,0)\). Тогда вершины куба будут иметь координаты: \(B(2,0,0)\), \(C(2,2,0)\), \(D(0,2,0)\), а верхние вершины \(A_1(0,0,2)\), \(B_1(2,0,2)\), \(C_1(2,2,2)\), \(D_1(0,2,2)\). Нам нужно найти площадь сечения четырёхугольника, образованного точками \(A\), \(B_1\), \(C_1\), \(D\).

Для вычисления площади сечения разобьём четырёхугольник \(AB_1C_1D\) на два треугольника: \(AB_1C_1\) и \(AC_1D\). Найдём векторы, образующие эти треугольники. Вектор \(\vec{AB_1}\) равен \(B_1 — A = (2,0,2)\), вектор \(\vec{AC_1}\) равен \(C_1 — A = (2,2,2)\), а вектор \(\vec{AD}\) равен \(D — A = (0,2,0)\). Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения двух его сторон.

Вычислим векторное произведение для треугольника \(AB_1C_1\): \(\vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-4, 0, 4)\). Модуль этого вектора равен \(\sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). Следовательно, площадь треугольника \(AB_1C_1\) равна \(\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Аналогично найдём площадь треугольника \(AC_1D\). Его стороны задаются векторами \(\vec{AC_1} = (2,2,2)\) и \(\vec{AD} = (0,2,0)\). Векторное произведение равно \(\vec{AC_1} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (-4, 0, 4)\). Модуль также равен \(4\sqrt{2}\), значит площадь треугольника \(AC_1D\) равна \(\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Итоговая площадь сечения — сумма площадей двух треугольников: \(S = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\) см^{2}. Таким образом, площадь сечения четырёхугольника \(AB_1C_1D\) равна \(4\sqrt{2}\) квадратных сантиметров.