ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(DC\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\) (рис. 16.7). Найдите площадь треугольника \(ADB\), если \(\angle ACB = 90^\circ\).

\(AC = 8\) см, \(BC = 10\) см, а угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен 45°.

Площадь треугольника \( ABC \) равна \( \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \) см².

Угол между плоскостями \( ABC \) и \( ABD \) равен \( 45^\circ \), значит площадь \( ADB \) связана с площадью \( ABC \) формулой \( S_{ADB} = \frac{S_{ABC}}{\cos 45^\circ} \).

Подставляем: \( S_{ADB} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 40 \sqrt{2} \) см².

Треугольник \( ABC \) является прямоугольным с прямым углом при вершине \( C \), где стороны \( AC \) и \( BC \) равны 8 см и 10 см соответственно. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \). Подставляя данные значения, получаем \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \) см^{2}. Это базовая площадь, лежащая в плоскости \( ABC \).

Угол между плоскостями \( ABC \) и \( ABD \) равен \( 45^\circ \). Этот угол можно рассматривать как угол между нормалями к этим плоскостям. Если \( DC \) перпендикулярен плоскости \( ABC \), то точка \( D \) лежит вне плоскости \( ABC \), и плоскость \( ABD \) наклонена относительно \( ABC \) под углом \( 45^\circ \). Площадь треугольника \( ADB \) связана с площадью \( ABC \) через этот угол, так как проекция треугольника \( ADB \) на плоскость \( ABC \) равна \( ABC \).

Для нахождения площади \( ADB \) используется формула, учитывающая угол наклона: \( S_{ADB} = \frac{S_{ABC}}{\cos 45^\circ} \). Косинус угла \( 45^\circ \) равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому подставляем и получаем \( S_{ADB} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 40 \sqrt{2} \) см^{2}. Таким образом, площадь треугольника \( ADB \) больше площади \( ABC \) в \( \sqrt{2} \) раз из-за наклона плоскостей.