ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 16.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см, а боковая сторона — 8 см. Найдите площадь проекции данной трапеции на плоскость \(\alpha\), если угол между плоскостью трапеции и плоскостью \(\alpha\) равен 30°.

Половина разности оснований \(HK = \frac{18 — 10}{2} = 4\). Высота трапеции \(CH = \sqrt{8^2 — 4^2} = 4\sqrt{3}\). Площадь трапеции \(S = \frac{10 + 18}{2} \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\). Площадь проекции \(S_{пр} = 56\sqrt{3} \times \cos 30^\circ = 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 84\).

Ответ: 84 см².

Основания трапеции равны \(BC = 10\) см и \(AD = 18\) см, боковая сторона \(AB = 8\) см. Для нахождения высоты трапеции сначала определим отрезок \(HK\), который равен половине разности оснований, то есть \(HK = \frac{18 — 10}{2} = 4\) см. Этот отрезок представляет собой горизонтальную проекцию боковой стороны на основание.

Далее, чтобы найти высоту \(CH\), применяем теорему Пифагора к треугольнику \(ABH\), где \(AB\) — гипотенуза, а \(HK\) — один из катетов. Тогда \(CH = \sqrt{AB^2 — HK^2} = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}\) см. Полученная высота — это перпендикуляр от основания к противоположной стороне, необходимый для вычисления площади трапеции.

Площадь трапеции вычисляем по формуле \(S = \frac{BC + AD}{2} \times CH = \frac{10 + 18}{2} \times 4 \sqrt{3} = 14 \times 4 \sqrt{3} = 56 \sqrt{3}\) см². Поскольку трапеция наклонена относительно плоскости проекции под углом 30°, площадь проекции будет равна площади трапеции, умноженной на косинус этого угла: \(S_{пр} = 56 \sqrt{3} \times \cos 30^\circ = 56 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 56 \times \frac{3}{2} = 84\) см².