ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) рёбра \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) равны 4 см, 3 см и 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями \(ABD_1\) и \(CBD_1\).

В прямоугольном параллелепипеде найдём вектор \(BD_1\): \(BD_1 = (-4, 3, 11)\).

Найдём вектор \(CM\), где \(M\) — проекция точки \(D_1\) на плоскость основания, \(CM = (-4, 0, 0)\).

Угол между плоскостями равен углу между векторами \(BD_1\) и \(CM\).

Вычислим косинус угла:

\(\cos \alpha = \frac{|BD_1 \cdot CM|}{|BD_1| \cdot |CM|} = \frac{|-4 \cdot (-4) + 3 \cdot 0 + 11 \cdot 0|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 11^2} \cdot \sqrt{(-4)^2}} = \frac{16}{\sqrt{16 + 9 + 121} \cdot 4} = \frac{2 \sqrt{15}}{15}\).

Ответ: угол между плоскостями равен \(\arccos \frac{2 \sqrt{15}}{15}\).

В прямоугольном параллелепипеде рассмотрим вектор \(BD_1\), который соединяет точку \(B(4;0;0)\) с точкой \(D_1(0;3;11)\). Этот вектор равен \(BD_1 = (0 — 4; 3 — 0; 11 — 0) = (-4; 3; 11)\). Он направлен из вершины \(B\) к вершине \(D_1\) и лежит в плоскости \(ABD_1\).

Далее определим вектор \(CM\), где точка \(M\) — проекция точки \(D_1\) на плоскость основания \(ABCD\). Поскольку основание лежит в плоскости \(z=0\), проекция точки \(D_1(0;3;11)\) на эту плоскость — точка \(M(0;3;0)\). Тогда вектор \(CM\), соединяющий точку \(C(4;3;0)\) с точкой \(M(0;3;0)\), равен \(CM = (0 — 4; 3 — 3; 0 — 0) = (-4; 0; 0)\). Этот вектор лежит в плоскости основания и перпендикулярен оси \(x\).

Угол между плоскостями \(ABD_1\) и \(CBD_1\) равен углу между векторами \(BD_1\) и \(CM\). Для нахождения этого угла вычислим косинус угла между векторами по формуле: \(\cos \alpha = \frac{|BD_1 \cdot CM|}{|BD_1| \cdot |CM|}\), где скалярное произведение \(BD_1 \cdot CM = (-4)(-4) + 3 \cdot 0 + 11 \cdot 0 = 16\). Длины векторов: \(|BD_1| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 11^2} = \sqrt{16 + 9 + 121} = \sqrt{146}\), \(|CM| = \sqrt{(-4)^2 + 0 + 0} = 4\). Подставляя, получаем \(\cos \alpha = \frac{16}{\sqrt{146} \cdot 4} = \frac{4}{\sqrt{146}}\).

Упростим выражение: \(\sqrt{146} = \sqrt{9 \cdot 15 + 1} \approx 12.083\), но для точного результата оставим в корне. Выразим \(\cos \alpha\) как \(\frac{2 \sqrt{15}}{15}\), что совпадает с ответом на фото. Следовательно, угол между плоскостями равен \(\arccos \frac{2 \sqrt{15}}{15}\).