ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все рёбра \(n\)-угольной пирамиды равны 1 см. Найдите все возможные значения \(n\).

Все рёбра пирамиды равны 1. Значит сторона основания правильного \(n\)-угольника равна 1, а боковое ребро равно 1.

Радиус описанной окружности основания равен \(R = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\).

Высота пирамиды \(h = \sqrt{1 — R^2}\) должна быть положительной и вещественной, значит \(1 — R^2 \geq 0\).

Подставляем \(R\):

\(1 — \left(\frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\right)^2 \geq 0\)

Отсюда:

\(4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) \geq 1\)

\(\sin(\frac{\pi}{n}) \geq \frac{1}{2}\)

Решая неравенство, получаем \(n \leq 6\).

Проверяем целые \(n \geq 3\): \(3,4,5,6\).

При \(n=6\) высота \(h=0\), пирамида вырождается, значит \(n=6\) не подходит.

Ответ: \(n = 3,4,5\).

Все рёбра пирамиды равны 1, значит длина каждой стороны основания, являющегося правильным \(n\)-угольником, равна 1. Кроме того, все боковые рёбра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, также равны 1. Это ключевое условие позволяет связать геометрические параметры основания и высоту пирамиды.

Рассмотрим радиус описанной окружности правильного \(n\)-угольника со стороной 1. Он равен \(R = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\). Поскольку боковое ребро равно 1, высота пирамиды \(h\) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и боковым ребром. По теореме Пифагора имеем \(h = \sqrt{1^{2} — R^{2}} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\right)^{2}}\). Для существования пирамиды высота должна быть вещественным положительным числом, то есть подкоренное выражение неотрицательно.

Из условия \(1 — \frac{1}{4 \sin^{2}(\frac{\pi}{n})} \geq 0\) следует, что \(4 \sin^{2}(\frac{\pi}{n}) \geq 1\), или \(\sin(\frac{\pi}{n}) \geq \frac{1}{2}\). Решая это неравенство, получаем \(n \leq 6\). При этом \(n\) должно быть целым и не меньше 3, так как основание — правильный многоугольник. Проверяем \(n = 3, 4, 5, 6\). Для \(n=6\) радиус описанной окружности \(R = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{6})} = 1\), тогда высота \(h = \sqrt{1 — 1^{2}} = 0\), пирамида вырождается. Значит, \(n=6\) не подходит. Остаются значения \(n = 3, 4, 5\).