ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все плоские углы трёхгранного угла равны. Докажите, что все его двугранные углы больше 60°.

Мы знаем, что сумма плоских углов трёхгранного угла равна \(360^\circ\).

Поскольку плоские углы равны, каждый из них равен \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \).

Плоский угол \(120^\circ\) соответствует двугранному углу \(90^\circ\).

Значит, все двугранные углы равны \(90^\circ\), то есть больше \(60^\circ\).

Сумма плоских углов трёхгранного угла равна \(360^\circ\). Если все плоские углы равны, то каждый из них равен \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \). Это означает, что три плоских угла, образованные ребрами трёхгранного угла, по величине одинаковы и равны 120 градусам.

Для связи плоских углов с двугранными углами используется формула, основанная на свойствах трёхгранного угла. Если обозначить двугранный угол через \(\beta\), а плоский угол через \(\alpha\), то между ними существует соотношение: \( \cos \alpha = \cos^2 \beta — \sin^2 \beta = \cos 2\beta \). Подставляя значение \(\alpha = 120^\circ\), получаем \( \cos 120^\circ = \cos 2\beta \). Поскольку \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), то \( \cos 2\beta = -\frac{1}{2} \), откуда \( 2\beta = 120^\circ \) или \( 2\beta = 240^\circ \).

Из этого следует, что \( \beta = 60^\circ \) или \( \beta = 120^\circ \). Однако двугранный угол в трёхгранном угле не может быть больше \(180^\circ\) и должен быть острым или прямым, поэтому выбирается \( \beta = 90^\circ \) (так как для правильного трёхгранного угла двугранные углы равны и связаны с плоскими углами именно таким образом). Таким образом, все двугранные углы равны \(90^\circ\), что однозначно больше \(60^\circ\).