ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все плоские углы трёхгранного угла равны 90°. Найдите углы между биссектрисами этих плоских углов.

Если на рёбрах трёхгранного угла с плоскими углами по 90° построить куб, то диагонали плоских граней, пересекающиеся в вершине \( S \), будут биссектрисами этих углов.

Векторы биссектрис можно взять как \( (1,1,0) \), \( (1,0,1) \) и \( (0,1,1) \).

Угол между двумя биссектрисами находится по формуле
\( \cos \theta = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).

Отсюда
\( \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \).

Трёхгранный угол с плоскими углами по 90° можно представить как угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями, которые пересекаются в одной точке, вершине \( S \). Каждая пара этих плоскостей образует прямой угол, равный \( 90^\circ \). Биссектриса плоского угла — это луч, который делит этот угол пополам, то есть образует с каждой из граней угол по \( 45^\circ \). Для каждого из трёх плоских углов можно построить такие биссектрисы.

Если принять за координатные оси три ребра угла \( x \), \( y \) и \( z \), то биссектрисы плоских углов будут лежать в плоскостях между этими осями и направлены под углом \( 45^\circ \) к каждой из осей. Так, биссектриса угла между осями \( x \) и \( y \) может быть задана вектором \( (1,1,0) \), между \( x \) и \( z \) — вектором \( (1,0,1) \), а между \( y \) и \( z \) — вектором \( (0,1,1) \). Эти векторы не нормированы, но для определения угла между ними достаточно использовать их пропорциональные значения.

Чтобы найти угол между двумя биссектрисами, например, между \( (1,1,0) \) и \( (1,0,1) \), применяем формулу косинуса угла между векторами:
\( \cos \theta = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|} \).
Вычисляем скалярное произведение:
\( \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1 \).
Длины векторов:
\( |\vec{v}_1| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2} \),
\( |\vec{v}_2| = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \).
Подставляя, получаем:
\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).

Отсюда угол между биссектрисами равен
\( \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \).
Таким образом, углы между всеми биссектрисами плоских углов трёхгранного угла с плоскими углами по 90° равны \( 60^\circ \).