ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что каждый плоский угол выпуклого четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных его плоских углов.

Пусть четырёхгранный угол выпуклый с плоскими углами \(A, B, C, D\).

Сумма всех плоских углов меньше \(360^\circ\), то есть \(A + B + C + D < 360^\circ\).

Тогда \(A < 360^\circ — (B + C + D)\).

Поскольку \(360^\circ — (B + C + D) = B + C + D\), получаем \(A < B + C + D\).

Аналогично для остальных углов. Значит, каждый плоский угол меньше суммы трёх остальных.

Рассмотрим выпуклый четырёхгранный угол с плоскими углами \(A, B, C, D\). Выпуклость означает, что сумма всех этих плоских углов строго меньше \(360^\circ\), то есть выполняется неравенство \(A + B + C + D < 360^\circ\). Это базовое геометрическое свойство, которое следует из того, что четырёхгранный угол можно представить как часть пространства, ограниченную четырьмя плоскостями, и сумма углов при вершине не может достигать или превышать полный круг.

Теперь сосредоточимся на доказательстве неравенства для одного из углов, например, для угла \(A\). Из неравенства суммы углов следует, что если мы вычтем сумму трёх остальных углов \(B, C, D\) из полной суммы, то получим, что угол \(A\) меньше разности \(360^\circ\) и суммы этих трёх углов. То есть можно записать: \(A < 360^\circ — (B + C + D)\). При этом важно заметить, что \(360^\circ — (B + C + D)\) фактически равно сумме трёх углов \(B + C + D\), потому что сумма всех четырёх углов меньше \(360^\circ\), и значит, угол \(A\) меньше суммы остальных трёх.

Таким образом, для каждого плоского угла четырёхгранного угла справедливо неравенство вида \(A < B + C + D\), \(B < A + C + D\), \(C < A + B + D\), \(D < A + B + C\). Это означает, что каждый плоский угол строго меньше суммы трёх остальных, что и требовалось доказать. Такой результат является важным свойством выпуклых четырёхгранных углов и используется в различных задачах стереометрии.