ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(AD\) тетраэдра \(DABC\) равно 2 см. Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\), если \(\angle DAB = \angle BAC = 45^\circ\), \(\angle DAC = 60^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(DAB\). Из условия \(AD = 2\), \(\angle DAB = 45^\circ\).

Проведём перпендикуляр \(DO\) из точки \(D\) на плоскость \(ABC\). Тогда \(DO \perp BC\), \(OK \perp AC\).

В треугольнике \(DNO\) по теореме Пифагора:

\(DO = \sqrt{2}\) см.

Точка \(D\) находится вне плоскости \(ABC\), и нам нужно найти расстояние \(DO\) от точки \(D\) до этой плоскости. Для этого проведём перпендикуляр из точки \(D\) на плоскость \(ABC\), обозначив точку основания перпендикуляра как \(O\).

Из условия известно, что \(AD = 2\) см, \(\angle DAB = 45^\circ\), \(\angle BAC = 45^\circ\), и \(\angle DAC = 60^\circ\). Рассмотрим треугольник \(DAB\). В нём сторона \(AD\) известна, а угол при вершине \(A\) равен \(45^\circ\). Это позволяет построить высоту \(DO\), перпендикулярную плоскости \(ABC\).

Для нахождения \(DO\) используем тригонометрические свойства. Поскольку \(DO\) — высота, опущенная из точки \(D\) на плоскость, она образует прямой угол с этой плоскостью. В треугольнике \(DAB\) по теореме косинусов можно найти проекции и затем применить теорему Пифагора для вычисления длины \(DO\). В итоге получаем, что \(DO = \sqrt{2}\) см.