ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является равносторонний треугольник. Найдите расстояние между плоскостями оснований призмы, если известно, что \(AA_1 = 6\) см, \(\cos \angle A_1AC = \frac{1}{3}\), \(\cos \angle Z_1AB = \frac{2}{3}\).

Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной \(a\).

Длина ребра призмы \(AA_1 = 6\).

Угол между вектором \(AA_1\) и \(AC\) даёт \(\cos \angle A_1 A C = \frac{1}{3}\).

Угол между вектором \(B_1 A\) и \(AB\) даёт \(\cos \angle B_1 A B = \frac{2}{3}\).

Расстояние между плоскостями оснований равно проекции ребра \(AA_1\) на нормаль к основанию.

Вычисляем расстояние:

\(d = 6 \cdot \cos \theta = 2 \sqrt{5}\) см.

Основание призмы — равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(a\). Вектор \(AC\) лежит в плоскости основания, а ребро \(AA_1\) является боковым ребром призмы длиной 6 см. Из условия известно, что \(\cos \angle A_1 A C = \frac{1}{3}\), то есть угол между вектором \(AA_1\) и вектором \(AC\) равен арккосинусу \(\frac{1}{3}\). Аналогично, \(\cos \angle B_1 A B = \frac{2}{3}\) показывает угол между вектором \(B_1 A\) и вектором \(AB\).

Чтобы найти расстояние между плоскостями оснований, нужно определить угол между вектором \(AA_1\) и нормалью к основанию. Поскольку основание — равносторонний треугольник, нормаль к плоскости можно найти через векторы сторон \(AB\) и \(AC\). Из данных косинусов углов можно выразить проекции вектора \(AA_1\) на направления \(AB\) и \(AC\), что позволяет определить угол между \(AA_1\) и нормалью к основанию. Расстояние между плоскостями равно длине проекции ребра \(AA_1\) на нормаль, то есть \(d = |AA_1| \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между \(AA_1\) и нормалью.

Вычисления показывают, что расстояние между плоскостями равно \(d = 2 \sqrt{5}\) см. Это значение получается из геометрических соотношений и данных углов, учитывая, что длина бокового ребра равна 6 см и углы задают наклон призмы относительно основания. Таким образом, искомое расстояние между плоскостями оснований равно \(2 \sqrt{5}\) см.