ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(BD\) тетраэдра \(DABC\) равно 4 см. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DAC\), если известно, что \(\angle ADC = 90^\circ\), \(\angle BDC = 45^\circ\), \(\angle BDA = 120^\circ\).

Дано \(BD = 4\) см, \(\angle ADC = 90^\circ\), \(\angle BDC = 45^\circ\), \(\angle BDA = 120^\circ\).

Вычисляем косинус угла между \(BD\) и плоскостью \(DAC\):

\(\cos \varphi = \frac{0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DAC\):

\(BO = \frac{1}{2} BD = 2\) см.

Рассмотрим задачу подробнее. Дано, что \(BD = 4\) см, угол \(\angle ADC = 90^\circ\), угол \(\angle BDC = 45^\circ\), угол \(\angle BDA = 120^\circ\). Нам нужно найти косинус угла \(\varphi\) между вектором \(BD\) и плоскостью \(DAC\), а также расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DAC\).

Для начала вспомним, что косинус угла между вектором и плоскостью равен синусу угла между этим вектором и нормалью к плоскости. Однако здесь дано выражение для косинуса угла между \(BD\) и плоскостью \(DAC\) в виде дроби:

\(\cos \varphi = \frac{0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\).

В числителе стоит сумма двух произведений, где первое слагаемое равно нулю, а второе — произведение \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Это даёт \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). В знаменателе произведение \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), что равно \(\frac{\sqrt{6}}{4}\).

Далее вычисляем дробь:

\(\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Таким образом, косинус угла между вектором \(BD\) и плоскостью \(DAC\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Теперь рассчитаем расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DAC\). Из условия и построений следует, что это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки \(B\) на плоскость \(DAC\). По условию и геометрии задачи этот перпендикуляр равен половине длины отрезка \(BD\), то есть

\(BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) см.

Таким образом, расстояние от точки \(B\) до плоскости \(DAC\) равно 2 см.