ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в любой треугольной пирамиде найдётся вершина, при которой все плоские углы меньше 90°.

Пусть при каждой вершине пирамиды есть хотя бы один неострый угол. Тогда сумма углов при каждой вершине будет больше 180°.

Тогда сумма всех углов граней тетраэдра будет больше \(720^\circ\).

Это невозможно, значит существует вершина, при которой все плоские углы меньше \(90^\circ\).

Рассмотрим треугольную пирамиду (тетраэдр). В каждой вершине пирамиды сходятся плоские углы граней. Предположим, что при каждой вершине пирамиды есть хотя бы один неострый угол, то есть угол, который больше или равен \(90^\circ\). Это означает, что сумма углов при каждой вершине будет строго больше \(180^\circ\), потому что кроме неострого угла в вершине есть и другие углы, сумма которых с ним превышает \(180^\circ\).

Если в каждой из четырёх вершин тетраэдра сумма углов больше \(180^\circ\), то суммарная сумма всех углов граней будет больше \(4 \times 180^\circ = 720^\circ\). Однако известно, что сумма всех углов граней тетраэдра равна ровно \(720^\circ\). Это базовое свойство геометрии тетраэдра, которое нельзя нарушить. Следовательно, наше предположение о том, что при каждой вершине есть неострый угол, приводит к противоречию.

Из этого противоречия следует, что существует хотя бы одна вершина, при которой все плоские углы граней острые, то есть меньше \(90^\circ\). Таким образом, в любой треугольной пирамиде найдётся вершина, у которой все плоские углы меньше \(90^\circ\).