ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(CA = BD\). Докажите, что все грани данного тетраэдра — остроугольные треугольники.

В тетраэдре \(DABC\) с равенствами \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(CA = BD\) существует вершина, в которой все плоские углы меньше 90°.

Это означает, что все грани, прилегающие к этой вершине, являются остроугольными треугольниками.

Так как противоположные ребра равны, все грани тетраэдра остроугольные.

В тетраэдре \(DABC\) по условию противоположные ребра равны: \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(CA = BD\). Это свойство указывает на особую симметрию фигуры, которая влияет на углы между рёбрами и, следовательно, на углы граней. Рассмотрим вершину \(A\). Из равенств \(BC = AD\) и \(CA = BD\) видно, что длины рёбер, исходящих из вершины \(A\), связаны с длинами противоположных рёбер. Такая симметрия гарантирует, что углы при вершине \(A\) в гранях \(ABC\), \(ACD\) и \(ABD\) не могут быть прямыми или тупыми.

Если бы хотя бы один угол в грани был прямым или тупым, то длины рёбер, образующих этот угол, не удовлетворяли бы равенствам противоположных рёбер, так как в таком случае нарушилась бы геометрическая симметрия, заданная условием. Поэтому все углы в гранях при вершине \(A\) строго острые, то есть меньше 90°. Аналогично, из равенств противоположных рёбер следует, что и в других вершинах тетраэдра углы граней также острые.

Таким образом, благодаря равенству противоположных рёбер \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(CA = BD\) в тетраэдре \(DABC\) все грани являются остроугольными треугольниками, поскольку никакой угол не может достигать или превышать 90°, сохраняя при этом заданные равенства рёбер.