ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если плоские углы \(ASB\), \(BSC\) и \(CSA\) трёхгранного угла \(SABC\) соответственно равны плоским углам \(A_1S_1B_1\), \(B_1S_1C_1\) и \(C_1S_1A_1\) трёхгранного угла \(S_1A_1B_1C_1\), то двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\) и \(SC\) соответственно равны двугранным углам при рёбрах \(S_1A_1\), \(S_1B_1\) и \(S_1C_1\).

Если плоские углы \(\angle ASB\), \(\angle BSC\) и \(\angle CSA\) равны плоским углам \(\angle A_1S_1B_1\), \(\angle B_1S_1C_1\) и \(\angle C_1S_1A_1\), то по теореме косинусов двугранных углов двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\) и \(SC\) равны двугранным углам при рёбрах \(S_1A_1\), \(S_1B_1\) и \(S_1C_1\).

Плоские углы при вершинах совпадают, значит соответствующие косинусы углов равны.

По формуле для двугранного угла через косинусы плоских углов при рёбрах, равенство плоских углов влечёт равенство двугранных углов.

Следовательно, двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\) и \(SC\) соответственно равны двугранным углам при рёбрах \(S_1A_1\), \(S_1B_1\) и \(S_1C_1\).

1. Пусть даны трёхгранные углы \(SABC\) и \(S_1A_1B_1C_1\) с плоскими углами при вершинах \(S\) и \(S_1\) соответственно: \(\angle ASB\), \(\angle BSC\), \(\angle CSA\) и \(\angle A_1S_1B_1\), \(\angle B_1S_1C_1\), \(\angle C_1S_1A_1\). По условию эти плоские углы равны: \(\angle ASB = \angle A_1S_1B_1\), \(\angle BSC = \angle B_1S_1C_1\), \(\angle CSA = \angle C_1S_1A_1\).

2. Рассмотрим двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\), \(SC\) трёхгранного угла \(SABC\). Эти двугранные углы определяются углами между плоскостями, образованными соответствующими рёбрами и плоскими углами.

3. По теореме косинусов двугранных углов косинус двугранного угла при ребре, например \(SB\), выражается через косинусы плоских углов, прилегающих к этому ребру. То есть, если \(\alpha\), \(\beta\) — плоские углы при вершине \(S\), то косинус двугранного угла при ребре \(SB\) равен \(\cos \theta = \frac{\cos \alpha — \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}\), где \(\alpha, \beta, \gamma\) — соответствующие плоские углы.

4. Поскольку плоские углы при вершинах \(S\) и \(S_1\) равны, то косинусы этих углов совпадают: \(\cos \angle ASB = \cos \angle A_1S_1B_1\), \(\cos \angle BSC = \cos \angle B_1S_1C_1\), \(\cos \angle CSA = \cos \angle C_1S_1A_1\).

5. Следовательно, подставляя эти равные косинусы в формулы для косинусов двугранных углов, получаем, что двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\), \(SC\) равны двугранным углам при рёбрах \(S_1A_1\), \(S_1B_1\), \(S_1C_1\).

6. Таким образом, равенство плоских углов при вершинах \(S\) и \(S_1\) влечёт равенство двугранных углов при соответствующих рёбрах.

7. Итог: если \(\angle ASB = \angle A_1S_1B_1\), \(\angle BSC = \angle B_1S_1C_1\), \(\angle CSA = \angle C_1S_1A_1\), то двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\), \(SC\) равны двугранным углам при рёбрах \(S_1A_1\), \(S_1B_1\), \(S_1C_1\).

8. Это доказывает требуемое равенство двугранных углов по теореме косинусов.

9. Следовательно, плоские углы однозначно определяют двугранные углы в трёхгранном угле.

10. Вывод: двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\), \(SC\) трёхгранного угла \(SABC\) равны двугранным углам при рёбрах \(S_1A_1\), \(S_1B_1\), \(S_1C_1\) трёхгранного угла \(S_1A_1B_1C_1\) при равенстве соответствующих плоских углов.