ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(CA = BD\). Докажите, что все грани данного тетраэдра — остроугольные треугольники.

Плоские углы трёхгранного угла \(MA_1B_1C_1\) равны \(180^\circ — \alpha_1\), \(180^\circ — \beta_1\), \(180^\circ — \gamma_1\).

Двугранные углы при рёбрах \(MA_1\), \(MB_1\), \(MC_1\) равны \(180^\circ — \alpha\), \(180^\circ — \beta\), \(180^\circ — \gamma\).

Объяснение: плоские углы при вершине \(M\) связаны с двугранными углами исходного трёхгранного угла вычитанием из 180°, а двугранные углы нового трёхгранного угла связаны с плоскими углами исходного трёхгранного угла аналогичным образом.

В трёхгранном угле \(SABC\) заданы плоские углы при вершине \(S\), равные \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), а также двугранные углы при рёбрах \(SA\), \(SB\), \(SC\), равные \(\alpha_1\), \(\beta_1\), \(\gamma_1\) соответственно. Точка \(M\) расположена внутри этого угла так, что перпендикуляры из неё опущены на плоскости граней, образуя точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Нужно определить плоские и двугранные углы трёхгранного угла \(MA_1B_1C_1\).

Плоские углы трёхгранного угла \(MA_1B_1C_1\) при вершине \(M\) образуются на плоскостях, перпендикулярных исходным граням \(BSC\), \(CSA\), \(ASB\). Так как \(MA_1\), \(MB_1\), \(MC_1\) — перпендикуляры к соответствующим плоскостям, то плоские углы при \(M\) равны дополнительным углам к двугранным углам исходного трёхгранного угла. Поэтому: \(\angle A_1MB_1 = 180^\circ — \alpha_1\), \(\angle B_1MC_1 = 180^\circ — \beta_1\), \(\angle C_1MA_1 = 180^\circ — \gamma_1\).

Двугранные углы трёхгранного угла \(MA_1B_1C_1\) при рёбрах \(MA_1\), \(MB_1\), \(MC_1\) связаны с плоскими углами исходного угла \(SABC\). Эти двугранные углы равны дополнительным к плоским углам исходного трёхгранного угла, то есть: при ребре \(MA_1\) двугранный угол равен \(180^\circ — \alpha\), при \(MB_1\) — \(180^\circ — \beta\), при \(MC_1\) — \(180^\circ — \gamma\).

Таким образом, плоские углы нового трёхгранного угла связаны с двугранными углами исходного, а двугранные углы нового трёхгранного угла связаны с плоскими углами исходного. Это отражает взаимно обратную природу перпендикулярных построений и геометрических соотношений в пространстве.