ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все двугранные углы трёхгранного угла равны 90°. Докажите, что все его плоские углы также равны 90°.

Если все двугранные углы трёхгранного угла равны \(90^\circ\), то по теореме косинусов для трёхгранного угла косинусы плоских углов равны нулю.

Это значит, что все плоские углы равны \(90^\circ\).

Если все двугранные углы трёхгранного угла равны \(90^\circ\), это означает, что каждая пара плоскостей, образующих этот трёхгранный угол, пересекается под прямым углом. Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, и если их три, то у нас три двугранных угла. По условию каждый из них равен \(90^\circ\).

Плоские углы трёхгранного угла — это углы, образованные линиями пересечения этих плоскостей. Для доказательства, что плоские углы также равны \(90^\circ\), применим теорему косинусов для трёхгранного угла. Теорема косинусов связывает косинусы плоских углов с косинусами двугранных углов. Если двугранные углы равны \(90^\circ\), то косинусы этих углов равны нулю, то есть \(\cos 90^\circ = 0\).

Подставляя эти значения в формулы теоремы косинусов, получаем, что косинусы плоских углов равны нулю, следовательно, сами плоские углы равны \(90^\circ\). Таким образом, доказано, что если все двугранные углы трёхгранного угла равны \(90^\circ\), то и все его плоские углы равны \(90^\circ\).