ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что сумма двугранных углов трёхгранного угла больше 180°.

Обозначим двугранные углы трёхгранного угла как \(\alpha, \beta, \gamma\).

Рассмотрим плоские углы, соответствующие этим двугранным углам, которые дополняют их до \(180^\circ\): \(180^\circ — \alpha, 180^\circ — \beta, 180^\circ — \gamma\).

Сумма плоских углов вокруг вершины равна меньше \(360^\circ\), то есть
\((180^\circ — \alpha) + (180^\circ — \beta) + (180^\circ — \gamma) < 360^\circ\).

Раскроем скобки:
\(540^\circ — (\alpha + \beta + \gamma) < 360^\circ\).

Отсюда следует:
\(\alpha + \beta + \gamma > 180^\circ\).

Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной, в котором образованы три двугранных угла \(\alpha, \beta, \gamma\). Каждый из этих двугранных углов образован двумя плоскостями, и при этом существует соответствующий плоский угол, который дополняет двугранный угол до \(180^{\circ}\). То есть для каждого двугранного угла справедливо равенство: плоский угол равен \(180^{\circ} — \text{двугранный угол}\). Таким образом, плоские углы, соответствующие двугранным углам \(\alpha, \beta, \gamma\), равны \(180^{\circ} — \alpha\), \(180^{\circ} — \beta\), \(180^{\circ} — \gamma\) соответственно.

Сумма этих плоских углов вокруг вершины трёхгранного угла образует полный круг, но при этом она строго меньше \(360^{\circ}\), так как плоские углы расположены в пространстве и не могут полностью покрыть плоскость. Следовательно, справедливо неравенство: \((180^{\circ} — \alpha) + (180^{\circ} — \beta) + (180^{\circ} — \gamma) < 360^{\circ}\). Раскроем скобки и сложим числа: \(180^{\circ} + 180^{\circ} + 180^{\circ} = 540^{\circ}\), тогда неравенство принимает вид \(540^{\circ} — (\alpha + \beta + \gamma) < 360^{\circ}\).

Вычислим сумму двугранных углов из этого неравенства. Переносим сумму \(\alpha + \beta + \gamma\) вправо, а \(360^{\circ}\) влево: \(540^{\circ} — 360^{\circ} < \alpha + \beta + \gamma\). Получаем, что \(\alpha + \beta + \gamma > 180^{\circ}\). Это означает, что сумма двугранных углов трёхгранного угла всегда строго больше \(180^{\circ}\).