Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 17.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Докажите, что сумма всех двугранных углов произвольного тетраэдра больше 360°.
Применим утверждение для каждого из 4 трёхгранных углов тетраэдра и сложим неравенства.
Каждое ребро входит ровно в два трёхгранных угла, значит сумма всех двугранных углов вдвое меньше, чем \(4 \cdot 180^\circ = 720^\circ\).
Отсюда сумма всех двугранных углов тетраэдра больше \( \frac{720^\circ}{2} = 360^\circ \).
Для доказательства рассмотрим каждый из четырёх трёхгранных углов тетраэдра. Известно, что сумма плоских углов каждого трёхгранного угла не превышает 180°. Применяя это утверждение к каждому из четырёх углов, получаем четыре неравенства. Если сложить их, то сумма всех плоских углов будет не больше \(4 \cdot 180^\circ = 720^\circ\).
Каждое ребро тетраэдра является общим для ровно двух трёхгранных углов. Это означает, что двугранный угол при каждом ребре учитывается дважды, когда мы суммируем все плоские углы четырёх трёхгранных углов. Поэтому сумма всех двугранных углов тетраэдра в два раза меньше суммы всех плоских углов четырёх трёхгранных углов.
Таким образом, если сумма всех плоских углов четырёх трёхгранных углов не превышает \(720^\circ\), то сумма всех двугранных углов тетраэдра будет больше чем \(\frac{720^\circ}{2} = 360^\circ\). Следовательно, сумма двугранных углов произвольного тетраэдра обязательно превышает 360°.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!